Projektionernas egenskaper

De projektionsfel som kunna uppträda vid en klotytas överförande till planet, äro av tre slag: längd-, yt- och vinkelfel. Skulle något av dessa fel helt eller delvis utebli, erhåller projektionen endera av egenskaperna längdriktighet (eller ekvidistans), ytriktighet (eller ekvivalens) och vinkelriktighet (eller konformitet).

Ingen projektion företer fullkomlig längdriktighet, varmed skulle förstås, att ett avstånd var som helst på det projicierade klotpartiet skulle motsvaras av en precis lika lång sträcka på dettas projektion. Däremot kan en projektion vara längdriktig i en viss riktning (t. ex. den kvadratiska plattkartan), längs en viss linje (t. ex. Mercators projektion) eller från en viss punkt (t. ex. den mittavståndsriktiga azimutalprojektionen).

Med ytriktighet menas det förhållandet, att en yta å klotet motsvaras av en lika stor yta å projektionen. De båda ytorna kunna emellertid icke vara likformiga av samma skäl som klotytan själv ej kan vara likformig med sin projektion i planet.

Med vinkelriktighet förstår man den egenskapen, att en vinkel av ett visst gradtal å klotytan motsvaras av en lika många graders vinkel å projektionen. Härvid är att observera, att på grund av klotformen alla vinklar å en klotyta utgöra vinklar mellan cirkellinjer, alltså böjda linjer; gradtalet räknas efter vinkeln mellan dessa cirkellinjers tangenter i vinkelspetsen (= skärningspunkten). Å projektionen kan en klotytans vinkel återges genom en vinkel mellan räta linjer (t. ex. en del vinklar i Mercators projektion), mellan cirkellinjer liksom å klotet (t. ex. de flesta vinklar i en stereografisk horisontalprojektion), mellan andra böjda linjer än cirkellinjer (t. ex. i den vinkelriktiga transversala cylinderprojektionen) eller mellan en rät och en böjd linje (t. ex. vissa vinklar i alla de nämnda projektionerna).

En ytriktig projektion är vanligen ytriktig över hela sin yta. Likaledes är en vinkelriktig projektion oftast vinkelriktig över hela ytan. Däremot kan en projektion ej samtidigt vara både yt- och vinkelriktig. En viss grad av längdriktighet kan förefinnas hos såväl yt- som vinkelriktiga projektioner.

En egenskap hos kartprojektioner eller rättare hos kartor är skalan. Varje karta utgör en förminskad bild av jordytan. Skalan, som alltid är en längdskala, aldrig en ytskala, uttrycker storleksförhållandet mellan en vägsträcka på kartan och motsvarande sträcka i naturen. Detta kan ske på flera sätt. Följande exempel torde knappast kräva närmare förklaring: "1:100.000", "1/1.000.000", "Scale of One Inch to One Statute Mile = 1/63.360", "Scale of Twenty Five Statute Miles to One Inch = l/1.584.000." Ett mycket vanligt sätt att på kartor i medelstor och stor skala uttrycka denna är återgivandet av vissa vägmått å kartan genom en graderad linje.

Orsaken till att detta sista tillvägagångssätt ej praktiseras å kartor i liten skala över stora områden, exempelvis halvklotskartor, framgår av det som ovan sagts rörande längdriktigheten. En karta i stor skala (t. ex. 1:100.000) omfattar i regel ej större del av jordytan, än att längdskalan - ehuru icke matematiskt riktig för alla tänkbara linjer på kartan - likväl är praktiskt användbar för mätning, emedan längdfelen ej göra sig mätbart gällande. Annorlunda är förhållandet med t. ex. en halvklotskarta i relativt liten skala, exempelvis 1:50 mill. Här är varken en direkt längdskala eller det nyss anförda engelska beteckningssättet för skalan tillämpliga. Här kan i stället skalan tänkas såsom en ekvatorskala, för den händelse ekvatorn är längdriktig (t. ex. i Mercators projektion), en mittmeridianskala, om den mellersta meridianen i kartfältet är längdriktig (t. ex. i Bonnes projektion) och i övriga fall antingen såsom en medelskala, angivande ett medeltal mellan längdfelsextremerna, eller en mittpunktsskala, gällande endast för kartmedelpunkten. Mittpunktsskalan, som vanligen användes för icke-längdriktiga projektioner, är praktiskt oanvändbar för längdmätning å kartan och meddelar endast, huru mycket själva klotradien tänkes förminskad, för att den föreliggande projektionen direkt skall kunna åstadkommas. Vill man ha möjlighet att på en karta uppmäta längder även i någon av kartans icke-längdriktiga riktningar kan detta ske genom en skala, vars anordning visas i fig. 1. Användningen av denna, som gäller längdmätning mellan 0° och 60° bredd å en Mercators projektion i skalan 1:2 mill., torde knappast behöva närmare förklaring.


Fig 1. Skala (1:2 mill.) för längdmätning vid olika breddgrader å Mercators projektion.

Med ortodrom menar man det slags linjer på klotytan, vilka på kortaste vägen sammanbinda två punkter på densamma. Ortodromen motsvarar sålunda den räta linjen på planet. Varje ortodrom är en del av en storcirkel, ty en dylik uppkommer, om ortodromen åt endera hållet utdrages tillräckligt långt. Med loxodrom förstår man en linje - likaledes på klotytan - vilken skär de meridianer, den passerar, under samma vinkel. Loxodromen mellan två punkter bildar utdragen en cirkel, om punkterna ligga rätt i öster och väster, samt en storcirkel, om båda punkterna äro belägna i ekvatorn eller å samma meridian; i sistnämnda fall sammanfalla nämligen begreppen ortodrom och loxodrom. Om den ena punkten befinner sig på högre eller lägre breddgrad än den andra och båda ligga på olika meridianer, formar sig den åt båda hållen utdragna loxodromen till en dubbelspiral kring klotet, asymptotiskt närmande sig dettas poler. Loxodromen mellan två punkter representerar kompassriktningen mellan dem. Av naturliga skäl är loxodromen längre än ortodromen mellan samma punkter (utom naturligtvis då punkterna 1igga i ekvatorn eller meridianen). Ortodromers och loxodromers förhållande vid deras överflyttande från klotytan till planet är ofta av stor betydelse.